Глобальная оптимизация: приложения и вычислительная сложность

Практика создания высокоэффективных технических систем и технологических процессов, помимо использования новых принципов, новых материалов, новых физических эффектов и других новых решений, определяющих общую структуру создаваемого объекта, включает выбор наилучшего сочетания значений параметров этого объекта, поскольку изменения параметров (при фиксированной общей структуре или компоновке) могут существенно влиять на показатели эффективности. В настоящее время обычным явлением стала оценка различных вариантов не на самом объекте (что требует организации дорогих натурных экспериментов), а путем анализа математической модели объекта для различных значений его параметров.

Усложнение математических моделей, сопровождающее усложнение создаваемых объектов, приводит к резкому увеличению трудоемкости оценки их характеристик на основе анализа модели. Провести один расчет на модели за приемлемое время возможно лишь с использованием суперкомпьютерных систем. Это повышение сложности приводит к необходимости целенаправленного выбора вариантов в процессе поиска оптимального (наиболее эффективного) решения.

Существо целенаправленного выбора состоит в том, чтобы на основе анализа небольшой части вариантов исключить из дальнейшего рассмотрения многие заведомо не перспективные случаи и сосредоточить дальнейший поиск в подмножестве, содержащем лучший вариант. Различные математические схемы такого целенаправленного выбора основаны на гипотезе, что можно приблизиться к оптимальному решению путем последовательных малых изменений текущего рассматриваемого варианта. При этом поиск улучшения может осуществляться на основе небольших (локальных) вариаций параметров. Идея такого локального поиска предполагает определенную монотонность характеристик эффективности, которая в математической постановке может фиксироваться требованиями линейности, квадратичности, выпуклости и т. п.

В сложных математических моделях характеристики эффективности не будут обладать указанным выше свойством монотонности. В этом случае любое локальное изменение текущего (не лучшего) варианта не обеспечивает улучшения либо в силу попадания в локальный оптимум, когда для улучшения необходимо значительное изменение, либо в силу того, что область работоспособных вариантов, определяемая ограничениями на некоторые характеристики объекта (по весу, по прочности, по скорости и т. п.), состоит из нескольких несвязных частей и локальные изменения параметров недостаточны для перехода из одной части в другую.

Применяемые в таких задачах процедуры глобального поиска обеспечивают целенаправленность за счет ограниченности изменения характеристик объекта при ограниченных изменениях его параметров (отражающего ограниченность мощностей, вызывающих изменения в объекте). Математическая формулировка этого факта может иметь форму условия Липшица, равномерного условия Гельдера, вероятностного предположения об ограниченности математического ожидания вариации характеристик при ограниченной вариации параметров и т.п. Данный сайт посвящен именно таким глобальным методам, разработанным в рамках научной школы проф. Р.Г. Стронгина.

Методы глобальной оптимизации являются областью активных научных исследований. Помимо многочисленных журналов, посвященных методам оптимизации в целом (Optimization Letters, Optimization Methods & Software, Journal of Optimization Theory and Applications), издательством Springer выпускается международный журнал Journal of Global Optimization, ориентированный именно на данную научную область. Действует Международное обществе по глобальной оптимизации (International Society of Global Optimization), президентом которого является представитель Нижегородской школы глобально оптимизации, профессор Я.Д. Сергеев.

В качестве примера прикладной задачи глобальной оптимизации рассмотрим выбор наилучших параметров процесса охлаждения капли в потоке газа (работа проводилась совместно с коллективом из Пермского национального исследовательского политехнического университета, ПНИПУ).

Для проведения научных исследований в области аэродинамики летательных аппаратов в ПНИПУ проводится разработка энергоэффективной малогабаритной климатической аэродинамической трубы (ЭМКАДТ) замкнутого цикла. В связи с большими временными и материальными затратами на подготовку и проведение физического эксперимента в ЭМКАДТ, используются результаты численного моделирования процессов обледенения.

При формировании физической постановки задачи предполагалось, что капля с некоторыми скоростью, температурой и диаметром попадает в газодинамический поток, имеющий заданные скорость и температуру, так, чтобы при контакте с отдаленной преградой выполнялись определенные температурные ограничения. Отыскивалась максимальная температура несущего газодинамического потока, которая соответствует минимальному энергопотреблению ЭМКАДТ при его охлаждении.

Численное решение задачи с конкретными начальными и граничными условиями осуществлялось с помощью пакета ANSYS CFX, запускаемого из ANSYS Workbench. В качестве входных (варьируемых) параметров задачи были использованы температура и скорость газодинамического потока, температура и скорость капли в момент впрыска. Ограничением в задаче являлась температура капли в момент времени, соответствующей достижению ей преграды, критерием оптимизации была начальная температура газодинамического потока. Поставленная задача оптимизации была решена с помощью алгоритма глобального поиска, разработанного в ННГУ им. Н.И.Лобачевского.

В результате решения задачи оптимизации обнаружена область сочетания параметров скоростей и температур капли, а так же скоростей воздушного потока, при которых температура газодинамического потока в рабочей части является максимальной. Эта область является энергоэффективной, т.к. позволяет реализовать обледенение без достижения значительных отрицательных температур воздушного потока. Показана возможность реализации энергоэффективного режима работы ЭМКАДТ путем изменения только таких технологических параметров, как начальная температура и скорость капли.