Системы линейных уравнений возникают при решении ряда прикладных задач, описываемых дифференциальными, интегральными или системами нелинейных (трансцендентных) уравнений. Они могут появляться также в задачах математического программирования, статистической обработки данных, аппроксимации функций, при дискретизации краевых дифференциальных задач методом конечных разностей или методом конечных элементов и др.
Матрицы коэффициентов систем линейных уравнений могут иметь различную структуру и свойства. Матрицы решаемых систем могут быть плотными и их порядок может достигать несколько тысяч строк и столбцов. При решении многих задач могут появляться системы, обладающие симметричными положительно определёнными ленточными матрицами с порядком в десятки тысяч и шириной ленты в несколько тысяч элементов. И, наконец, при рассмотрении большого ряда задач могут возникать системы линейных уравнений с разрежёнными матрицами с порядком в миллионы строк и столбцов.
Рассматривается решение плотной системы уравнений.
Линейное уравнение с n неизвестными x0, x1, …, xn-1 может быть определено при помощи выражения
Множество n линейных уравнений
A x = b,
где A=(ai,j) есть вещественная матрица размера n x n, а вектора b и x состоят из n элементов. Под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b обычно понимается нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.В качестве метода решения задачи рассматривается метод Гаусса.