Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой широко применяемый математический аппарат при разработке моделей в самых разных областях науки и техники. К сожалению, явное решение этих уравнений в аналитическом виде оказывается возможным только в частных простых случаях, и, как результат, возможность анализа математических моделей, построенных на основе дифференциальных уравнений, обеспечивается при помощи приближенных численных методов решения. Объем выполняемых при этом вычислений обычно является значительным и использование высокопроизводительных вычислительных систем является традиционным для данной области вычислительной математики. Проблематика численного решения дифференциальных уравнений в частных производных является областью интенсивных исследований (см., например, Березин (1966), Тихонов (1977), Fox (1988)).
Рассмотрим в качестве учебного примера проблему численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, определяемую как задачу нахождения функции u = u(x, y), удовлетворяющей в области определения D уравнению
и принимающей значения g(x, y) на границе D0 области D ( f и g являются функциями, задаваемыми при постановке задачи). Подобная модель может быть использована для описания установившегося течения жидкости, стационарных тепловых полей, процессов теплопередачи с внутренними источниками тепла и деформации упругих пластин и др. Данный пример часто используется в качестве учебно-практической задачи при изложении возможных способов организации эффективных параллельных вычислений (см. Немнюгин (2002), Корнеев (1999), Pfister (1995)).
Для простоты изложения материала в качестве области задания D функции u(x, y) далее будет использоваться единичный квадрат.