Оптимизация профиля железнодорожного колеса

Руководитель проекта: Гергель В.П., декан факультета ВМК ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Описание задачи

Известно, что современные скоростные поезда развивают скорость свыше пятисот километров в час в максимуме и от двухсот в среднем. Протяженность железных дорог в России – чуть менее 100 тысяч километров, в Европе – более 200 тыс. километров. Компании ОАО «РЖД» принадлежит порядка 20 тыс. локомотивов и более 600 тыс. грузовых и пассажирских вагонов. Нетрудно видеть, что уменьшение износа колес и рельсового полотна на проценты может дать огромный экономический эффект, а повышение, например, устойчивости вагона в процессе движения позволит повысить безопасность и/или увеличить среднюю скорость движения. Итак, смысл оптимизации очевиден, но нужны ли здесь высокопроизводительные вычисления?

В процессе движения центр колесной пары вследствие конической формы колеса совершает синусоидальные колебания относительно линии, проходящей в середине рельсового полотна. Кинематические свойства контакта колеса с рельсом: радиус вращения, угол контакта, угол наклона колесной пары и др., – меняются при поперечном смещении колесной пары относительно рельса и определяются поперечной позицией колесной пары и профилями колеса и рельса.

Радиус вращения колеса в контактной точке может различаться для правого и левого колес, поскольку колесная пара смещается по рельсу.

Когда колесная пара находится в центральной позиции, радиусы вращения совпадают: r₁= r₂ = r. Отличие между радиусами вращения левого и правого колес может быть определено как функция бокового смещения колесной пары по отношению к ее центральной позиции dr(y)=r₁(y)-r₂(y).

Профиль колеса описывается с помощью B-сплайна, построенного на основе множества точек на кромке, основании кромки и поверхности качения колеса. Положение этих точек определяет профиль колеса. Положение точек наверху кромки и конической части профиля фиксируется, так как эти части колесного профиля не участвуют в контакте с рельсом (это, в частности, позволяет уменьшить трудоемкость задачи оптимизации, уменьшая размерность пространства поиска).

В качестве компонент вектора параметров задачи x выбраны ординаты z_i подвижных точек сплайна, при этом абсциссы данных точек фиксированы. В описываемой задаче число подвижных точек, а, следовательно, и число переменных N = 11, границы изменения параметров [–1, 1]; минимизируется разность радиусов вращения, а ограничения вводятся из соображений устойчивости (например, одно из ограничений наложено на максимальный угол наклона колесной пары). Таким образом, возникает задача оптимизации с числом параметров N = 11, числом ограничений m = 6; целевая функция и функции ограничений – многоэкстремальные.

Ограничения аналитической формы не имеют и заданы функционально (в виде вычислительных процедур в пакете MATLAB). Вычисление значений входящих в задачу функций для одного набора значений параметров занимает более десяти секунд на современном процессоре (IntelXeon 3 ГГц).

Если оптимум искать, используя полный перебор на сетке выбранной точности, получим следующее. Взяв десять вариантов значения каждого из параметров (напомним, всего параметров 11) получим 10¹¹ вычислений, что дает порядка 10¹² секунд, то есть 3 года непрерывного счета на суперкомпьютере с 10 тыс. процессоров. Таким образом, сложность задачи такова, что высокопроизводительные вычисления не только являются необходимыми, но и должны в обязательном порядке дополняться эффективными численными методами решения для получения результата в обозримых временных рамках.

Полученные результаты

Описанная задача решалась с помощью параллельного индексного метода с множественной разверткой на кластере из 4-х компьютеров в технологическом университете г. Делфта. Покоординатная точность решения – 2^-10, то есть 1024 точки по каждому параметру.

Была получена оценка оптимума φ^*=2.7676. Время получения данной оценки – 27 часов, при этом значение функционалов задачи было посчитано 4 297 + 4 415 + 4 236 + 4 266 = 17 214 раз.

Расчеты, проведенные специалистами Технического университета г. Делфта для колеса оптимизированного профиля, показали, что его ресурс возрос до 120 тыс. км пробега (более чем в пять раз по сравнению с колесом оригинального профиля), а максимально допустимая скорость – с 40 до 60 м/сек.